De quoi s'agit-il ?

On peut trouver frustrant de n'avoir à espérer que des canons aussi réguliers que ceux fournis par le théorème précédent. C'est la motivation du théoricien roumain Dan Tudor Vuza, qui s'est mis à étudier le problème vers 1980. Il lui a fallu dix ans de recherche (isolée) pour trouver à quelle condition on peut trouver un canon bien irrégulier. Et il se trouve qu'il a redécouvert un beau résultat d'algèbre (commutative), qui est le théorème de Hajòs et qui date des années 50.

Définition :
Le motif A est apériodique (modulo n) s'il n'existe aucun p tel que
p+A=A modulo n.
Le canon A⊕B=Z/n Z sera dit apériodique (ou Vuza canon) si A et B le sont (modulo n).
Le groupe Z/n Z est un groupe de Hajòs si il ne possède aucune décomposition apériodique.

Par exemple, le premier résultat de Vuza (1981) a été de démontrer que Z/12Z n'a que des décompositions périodiques (ce groupe est aimé des musiciens à cause de la série dodécaphonique, entre autres raisons).

Exemple: on a {0,4,8} ⊕ {0, 2, 5, 11} = Z/12 Z mais la première partie est 4-périodique.

En fait, cela est connu depuis belle lurette — de nos jours il est devenu plus facile de trouver des résultats un peu obscurs et connus de rares spécialistes, grâce à Internet ! Le théorème suivant a été démontré en de multiples articles, sur plusieurs années, et a connu de délicates généralisations à d'autres groupes (il reste encore des questions ouvertes dans ce domaine):

Théorème de Hajòs
Z/n Z est un groupe de Hajòs, sauf quand n est de la forme suivante (où p,q,r,s  désignent des nombres premiers et α ∈ ):
n=         n=q        n =    n=q r    n = p q r    n = p q r s

Historiquement, le premier contre-exemple a été Z/108Z mais le plus petit groupe non-Hajòs est Z/72Z. Vuza a trouvé un algorithme pour fabriquer des canons apériodiques. Cet algorithme est implémenté dans le logiciel d'aide à la composition musicale OpenMusic, développé par l'Ircam. Vous mourrez d'envie de voir un exemple, j'espère ? Voici:

Created by Mathematica  (February 6, 2006)