Réduction par effet de zoom

Théorème du système monétaire britannique (de Bruijn, 1950):
Tout canon compact est réductible à un canon plus simple par effet de zoom.

Le mieux est probablement  de donner un exemple pour faire comprendre cet énoncé.  Son contexte original était celui de l'expression d'un prix en guinées, livres, shillings, pence, etc… d'où le nom étrange !
Reprenons l'exemple précédent: on peut grouper les notes 2 par 2, en réduisant le tempo d'un même facteur. Ainsi {0,1,4,5, 8,9}⊕{0,2, 12, 14} deviendra {0,2,4}⊕{0,1,6,7}, soit

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Il est un peu délicat d'exprimer ce phénomène en termes d'ensembles et de sommes directes. D'ailleurs ça a pris du temps pour implémenter un programme qui cherche (et effectue) une telle réduction sur un canon donné. En termes de polynômes cela s'écrit assez simplement: dans l'exemple ci-dessus, on a

A[x] = 1 + x + x^4 + x^5 + x^8 + x^9 ;

B[x] = 1 + x^2 + x^12 + x^14 ;

Decompose[B[x]]

{1 + x + x^6 + x^7, x^2}

Ceci signifie tout simplement que B[x] = Q[x^2], où Q[y] = 1=y+y^6+y^7. Pour A il faut d'abord diviser par le facteur 1+x qui exprime tout simplement le motif d'une note répétée:

Decompose[Cancel[A[x]/(1 + x)]]

{1 + x + x^2, x^4}

En général, dire qu'on peut «zoomer» d'un facteur p s'exprimera ainsi (en permutant éventuellement les rôles de A et B, conformément au principe de dualité):

A[x] = Sum[x^k, {k, 0, p - 1}] * Overscript[A, _][x^p]

B[x] = Overscript[B, _][x^p]

Le théorème de réduction a des conséquences vertigineuses: comme le «zoomé» d'un canon compact est encore, par construction, un canon compact, on a le corollaire suivant:

Tout canon compact se réduit par une suite de zooms au canon trivial à une note: {0}+{0} (ou 1×1 en termes de polynômes).

Sur notre exemple, on est descendu à {0,1,6,7}⊕{0,2,4} après interversion, que l'on peut réduire d'un facteur 2 en {0,3}⊕{0,1,2}, qui donne le canon {0,1}⊕{0} en zoomant d'un facteur 3 et enfin en zoomant de 2 on est rendu à une seule voix et une seule note.

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Comme le zoom inverse est possible, cela veut dire que l'on peut construire tous les canons compacts sans exception à partir d'une seule note !
Les pessimistes observeront que le résultat musical obtenu est donc par nature bien répétitif — par répétition, mais aussi par "changements d'échelle".
Plutôt que de leur répondre en s'extasiant sur les auto-similarités des Iterated Fractal Canons et leurs dimensions fractales, nous allons maintenant partir dans d'autres directions où les régularités sont plus cachées, et donc plus merveilleuses encore.

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