Pause pour y voir plus clair

À ce stade, on peut (on doit !) se poser plusieurs questions:

Tout canon est-il périodique au sens ci-dessus ? (problème de l'équivalence des définitions)

Comment fabriquer tous les canons de période n donnée ?

Comment écrire tout cela avec des polynômes ?

La première question a une réponse négative: on peut étendre tout canon fini (au sens de la définition 1) à un canon qui recouvre Z entier de façon non périodique (théorème de Swenson, 1976). La démonstration est algorithmique — je l'ai implémentée l'automne dernier — on rajoute à chaque étape une voix et une note au motif du canon, de telle sorte que le tout recouvre un voisinage de plus en plus large de l'origine : Swenson.nb

Un exemple d'un tel canon est obtenu en prenant pour A les sommes de puissances impaires de 2, et pour B les sommes de puissances paires de 2.

Exemple d'une décomposition dans cette somme directe:

En revanche, on connaît depuis les années 50 un théorème de factorisation assez classe, qui montre qu'avec un motif fini on a forcément un canon rythmique:

Created by Mathematica  (February 6, 2006)