Canons et périodes

Nous allons maintenant restreindre la définition, pour se rapprocher du concept musical de canon. Voudriez-vous chanter Frère Jacques ?
[…]
Après un certain temps, les quatre voix ne cessent plus de chanter ensemble. On est entré dans un régime périodique, stationnaire.
Examinons un exemple d'un tel canon, qui n'est périodique et plein qu'à partir d'un certain moment:

On voit ci-dessus que la plénitude n'est réalisée qu'à partir du quatrième temps et cesse au troisième avant la fin. Cependant on imagine bien comment rendre cela périodique: il suffit de rajouter une voix qui commence 5 temps avant (resp. après), puis encore une, etc ad infinitum (on peut aussi faire se répéter les voix). Avec une infinité de voix, on obtient une belle régularité. Comment cela se formalise-t-il ? Observons que les attaques des voix se produisent tous les 5 temps, on peut donc prendre B={…-10,-5,0,5,10,15,…}=5Z.

On a {0,3,4,6,7}+5Z=Z.

Plus généralement on peut donner une définition plus exigeante que la deuxième, qui va être (enfin !) notre définition de travail:

Définition 3:
Deux parties A,B de Z forment un canon rythmique de période n si et seulement si on a  A⊕B⊕n Z =Z.

Created by Mathematica  (February 6, 2006)