26/2 au 3/3 |
Résolution des systèmes diff linéaires X’ = A X, quand A est Cte
(connaître la formule avec exp(tA), savoir faire le cas où A est
diagonalisable avec les vecteurs propres). Équation scalaire y’’ + a y’ + b y = c. Méthode de var des Ctes (écrire le système 2x2). En plus, résolution quand on a une solution ne s’annulant jamais de l’équation homogène. Savoir rechercher une solution DSE d'une équation linéaire. Equations non linéaires : notions. Système différentiel autonome, Thm de Cauchy-Lipschitz pour des systèmes x’ = f(x, y), y’ = g(x, y) avec f, g de classe C1. Idem pour les equations scalaires du premier ou second ordre. Interprétation géométrique (courbes intégrales, champ de vecteur, caractériser les solutions constantes). |
5/2 au 9/2 |
Révision de l'équation différentielle scalaire linéaire d'ordre 1. Méthode de variation de la constante, ou du pifomètre dans le cas d'un second membre simple. L’écriture de y’/y est prohibée ! Notion de solution (sur un intervalle), de sol maximale, prolongement, de recollement (sans théorie trop générale). Exos ici. Systèmes linéaires du premier ordre, structure de l’ensemble des solutions, existence et unicité d’une solution sur I au pb de Cauchy. Méthode de variation des constantes. Recherche d'une solution particulière k1 X1 + … kn Xn du système X'=AX+B avec le système k'1 X1 + … k'n Xn = B |
29/1 au 3/2 |
Séries de Fourier: définition des coefficients, de la série. Cas d'une fonction définie comme somme d'une série unift CV de sin et cos (c'est SA série de Fourier). Lemme de Lebesgue : les coeff tendent vers 0. Coeff de la dérivée. Interprétation géométrique : la somme partielle de la série de Fourier est le polynôme trigo le plus proche de degré donné, au sens de la norme 2. Théorèmes : Parseval, Dirichlet pour des fns C1 par morceaux (local et global). DM 11 (équation de la chaleur) pour la rentrée. DS 6 (fonctions de Bessel). Son corrigé. |
22/1 au 26/1 |
Fin du cours sur l'intégration : Fubini sur un rectangle,
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15/1 au 20/1 |
Intégration, suite : Intégrabilité d'une fonction à valeurs complexes: <=> |fl est intégrable. Critères de comparaison : f est intégrable dès que ~, majorée, o ou O d'une fn positive intégrable. Cas des 1/x^a en 0 ou +∞ (critère de Riemann). principe de "diviser pour règner": on regarde aux deux bornes séparément. Relation de Chasles. DM 10 (intégration) pour le 30/01. Son corrigé. Les gros théorèmes. Théorème de convergence dominée. Cas d'une suite de fonctions bornées sur un segment (voire un intervalle borné lui aussi). Ceci => le cas de la CVU sur un segment. Théorème d'intégration terme à terme. Thm de continuité d'une fonction définie par une intégrale. Thm de Leibniz (dérivation sous ∫ ). Le même itéré. |
8/1 au 13/1 |
Fin de la Topo : Dimension finie. Equivalence des normes. Conséquences : les applications (bi)linéaires sont continues, les compacts sont les fermés bornés, toute suite de Cauchy converge. Définition de la connexité par arc. L'image continue d'un c.p.a. est encore c.p.a. Début de l'intégration. Intégrale d'une fonction positive, continue par morceaux, sur un intervalle quelconque. Techniques de calcul (révisions): primitivation, changement de variable, i.p.p. DS 6. Correction du DM 8 (récurrences linéaires). |
18/12 au 21/12 |
Topologie des evn. Ouverts, fermés. Adhérence, intérieur (frontière). Caractéristion des points adhérents comme limites de suites. L'adhérence est l'ensemble des points à distance nulle. Parties denses. Images inverses de fermés/ouverts par une application continue. Comparaison de fonctions au vosinage d'un point. Continuité des applications linéaires, la norme subordonnée (||| u ||||). Elle est sous-multiplicative. Comment la calculer. Suites de Cauchy, complets, Banachs. Définition d'un compact par l'existence de sous-suites CV. Compact => fermé borné. Produit de deux compacts. Image continue d'un compact, application à l'existence de max (ou min)imum d'une fonction numérique. |
11/12 au 15/12 |
Pratique de la réduction. L'autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur. Théorème de trigonalisation ssi le poly caract. est scindé. Réduction d'un endomorphisme nilpotent d'indice n (hors-programme mais formateur). Sujet DM 7. Le corrigé du DM 6 (forme de Dirac) sera ici. |
3/12 au 8/12 |
Réduction des endomorphismes: suite. Polynôme caractéristique, ses coefficients les plus simples. Intérêt. Théorème de Cayley Hamilton. Les vp sont aussi les racines du minimal. Diagonalisation. Cas simple (n vp ≠), cas général (critère du polynôme annulateur scindé à racines simples, en particulier le minimal). Je donne le critère hors-programe sur multiplicité des vp (dans le poly caractéristique) et dimension des espaces propres. Correction du DS 4, avec remarques ici. |
28/11 au 1/12 |
Préhilbertiens, the end: Procédé de Schmidt. Bases orthonormées. Projection orthogonale, expression et existence sur un sev de dimension finie. Application: recherche de la distance d'un point à un sev (de dim finie). Elle est atteinte en la projection orthogonale. Réduction des endomorphismes. Feuille exos ici. Polynômes d'endomorphismes. Morphisme canonique. Polynômes annulateurs, polynôme minimal d'un endomorphisme donné. (PxQ)(u) = P(u)°Q(u) Ker u et Im u sont stables par v qui commute avec u. Sev stables, restriction. Éléments propres. Interprétation matricielle. Théorème des noyaux. Les sev propres sont toujours en somme directe. |
21/11 au 25 /11 |
Suite de la dualité: sev des solutions d'un système d'équations. Système d'équations d'un sev. Trace d'une matrice carrée. Tr(AB)=Tr(BA). Manipulations élémentaires: interprétation matricielle. Préhilbertiens: définition d'u produit scalaire réel ou hermitien. Exemples classiques (fns continues, l2). Inégalités de Cauchy-Schwarz, de Minkowski. Norme préhilbertienne. Identités de polarisation. Théorèmes sur la norme: formule de la médiane, Pythagore. DM 6 (forme de Dirac) pour le 12/12. |
14/11 au 18/11 |
Correction du DS 3. Cours: structure d'algèbre. Sommes directes de sev, cas de 2 et plus. Dimensions dans le cas fini. Supplémentaires. Projecteurs associés. Tous les supplémentaires d'un sev donné sont isomorphes. Notion de codimension. Hyperplans. Formes linéaires. Les hyperplans sont les noyaux de formes linéaires, proportionnelles. Dual, définition. En dimension finie, bases duales et (anté)duales. Exos dualité. Application à l'interpolation de Lagrange. |
7/11 au 11/11 |
Exercices sur les DSE, suite et fin. Correction du DM 3, insistance sur le contexte et la logique. le corrigé du DM 4 est en ligne. Jeudi, à cause du 11 novembre, a lieu le DS 3 : sujet, et aussi corrigé. Cours: révisions de Sup et approfondissements en algèbre linéaire, familles libres, génératrices en dim quelconque. Exercices ici. Donnée du DM 5 pour le 25/11 (au plus tard !) |
Congés de Toussaint | |
23/10 au 25/10 |
Séries entières : lemme d'Abel, rayon de convergence. Disque ouvert de CV. Propriétés d'une fonction DSE sur son disque ouvert de CV. Algèbre des fonctions DSE. Dérivabilité, intégrabilité. Exercices ici. DM 4 pour la rentrée. Corrigé DM 3 en ligne, avec remarques. |
18/10 au 21/10 |
Correction du DS 2, avec commentaires. Arithmétique de K[X]: c'est essentiellement la même que celle de Z puisqu'il dispose aussi d'une division euclidienne. PGCD, facteurs irréductibles (cas réel et complexe). Un idéal (par exemple le noyau d'un morphisme d'anneau) est engendré par un polynôme minimal. |
9/10 au 14/10 |
Arithmétique, groupes & autres structures. Z/nZ. Def, propriétés. Feuille d'exos. Approfondissements sur les groupes: groupe engendré par une partie, groupes monogènes, cycliques. Ordre d'un élément. DM 3 (thm ds 4 carrés) pour le 23 octobre. Rappels sur le groupe symétrique, signature d'une permutation. Anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif. Idéal principal. Les idéaux de Z sont les nZ. Applications: Bezout, pgcd, ppcm. Anneau Z/nZ. Ses éléments inversibles. Corps Z/pZ. Décomposition en produit de facteurs premiers dans Z. TD Info: semaine 2, groupe pair. |
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2/10 au 7/10 |
Dérivation
d'une suite (série) de fns quand la suite (série) des
dérivées CVU (Dérivation terme à terme).
Correction assez détaillée du DM 1, avec conseils
méthodologiques de rédaction. Le corrigé du DM 2 est en ligne. Nombreux exercices sur la CVU et ses applications. Le DS 2 (E3A 1999). Son corrigé en ligne. TD Info: semaine 2, groupe impair. Calcul approché avec précision garantie d'une somme de série ou produit infini, suite (avec une variable x). |
25/9 au 1/10 |
Corrigé du DM 1 en ligne. Correction du DS 1. Cahier Mathematica de remarques. Suites et série de fonctions. Convergence simple, convergence uniforme. Cas des séries. Comprendre la ≠ entre une pté locale et une pté globale. CVU sur tout compact. Feuille d'exos. Propriétés conservées par passage à la limite uniforme: borné, continu, intégrale sur [a,b]. Convergence normale d'une série de fonctions. CVN => CVU. Thm de Weierstrass (admis). Séance info idem groupe pair. Le source du TD est en ligne. |
18/9 au 23/9 |
Normes,
evn. Normes
usuelles. Boules. Distance (entre points, entre parties). Parties
bornées. Applications lipschitziennes. Suite CV dans un evn.
Sous-suites. CV en dimension finie. Normes équivalentes
(préservent la notion de CV). Savoir utiliser des sups et des infs. Feuille d'exos Comparaison des suites : o, O, ~. Notion de continuité d'une application. Critère de continuité séquentielle. Séance info gr1 sem 1: calculs de sommes partielles etc. DM 2, pour le 4 octobre. |
11/9 au 16/9 | Critère
de Cauchy
pour les séries. Convergence absolue. TSA.
Méthodes
pratiques: comparaison, éclatement, comparaison à
une
intégrale. Séries doubles. Interversion pour les séries à termes positifs. Sommabilité d'une famille à double indice : c'est la sommabilité par tranches de la famille des | |. Alors la somme existe, on l'obtient indifféremment par tranches, par sommation diagonale ou carrée. DM 1 pour le 21/09. Série produit, produit de Cauchy de deux séries ACV. Cas de exp. DS 1. Corrigé. |
4/9 au 9/9 |
Révisions
sur les
suites, o, O, ~; point sur l'assimilation du programme de Sup.
Premières notions sur les séries: somme
partielle,
convergence, divergence. DV grossière. Reste. Comparaison
des
séries à termes positifs. Critère de domination. Sommation des équivalents. Séries étalons : géométriques, de Riemann. Critère de d'Alembert. Développement décimal illimité. Feuille d'exos. |