Ce sera l'outil sur lequel je me concentre aujourd'hui. Dans on a l'action d'un groupe (le groupe des automorphismes) par
       quand est inversible modulo , i.e. premier avec .
On en déduit une action sur les parties de .
Exemple: le motif (donné par les intervalles successifs) {1,3,3,6,11,4,9,6,5,1,3,20} prend les formes suivantes, quand on le multiplie par un nombre inversible modulo 72,

Observer qu'on a la rétrogradation de ce rythme parmi les transformés: c'est une généralisation des méthodes classiques de transformation d'un motif. les autres formes ne sont pas forcément aussi reconnaissables :

Un théorème maintenant classique montre l'importance de cette notion :

Si et est premier avec , alors
(et plus généralement toute l'orbite de pave, et ce avec tout élément de l'orbite de ).

Il a été démontré en premie lieu par Vuza (90), retrouvé par Tijdeman (96), démontré plus simplement par Coven & Meyerowitz (98), redécouvert par Tom Johnson (2002), et j'en ai trouvé récemment une nouvelle démonstgration merveilleuse, que cet exposé est malheureusement trop étroit pour contenir.

Un point opportun pour le présent exposé (et pour les applications musicales) est qu'une transformation affine préserve la Vuzaitude — le caractère acyclique — d'un canon: si un motif est acyclique, il en est de même de tous ses transformés.
D'ailleurs il résulte de résultats élémentaires de la théorie des actions de groupes que tous les éléments d'une même orbite ont exactement les mêmes symétries (et leur nombre est égal à ).

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