Les conditions de Coven-Meyerowitz

Dans un papier récent (99) ils ont mis en avant les deux propriétés suivantes: définissons comme l'ensemble des puissances de nombres premiers telles que .

(T1) : A(1)= Card(A) =
(T2) : Pour tous ,...dans (càd que ... divisent A(x) ), alors divise A(x).

Exemple: considérons la basicForm du 'rythme extérieur' (table des entrées) d'un des canons de Vuza :{3,3,1,5,15,4,5,6,6,3,4,17}.

Les facteurs cyclotomiques (qui ne dépendent pas de la forme où s'incarne cette structure intervallique) sont

In one fell swoop, avec une procédure du canonCrawler :

Le 0 signifie qu'il y a un facteur non cyclotomique dans le tas, l'avant-dernier).
★ La condition (T1) ici concerne les indices 2,8,9. Or on a bien

★ La condition (T2) est plus longue à vérifier, on fait les produits
et qui sont bien des facteurs présents dans la liste.

Pour que A pave,

• La condition (T1) est nécessaire;
  

• La conjonction de (T1) et (T2) est toujours suffisante;
  

• La conjonction de (T1) et (T2) est nécessaire et suffisante au moins dans le cas où ne possède que deux facteurs premiers: .

La dernière propriété est de loin la plus délicate à démontrer. il est possible aux dernières nouvelles qu'elle soit vraie pour tout mais on est loin de l'avoir démontré. Un argument clef est le théorème transformationnel suivant (montré par Vuza et indépendamment par Tijdeman):