Le but du présent texte est de montrer comment l’algèbre (actions de groupes) a sa place dans l’analyse de pièces musicales a priori dégoulinantes de romantisme; loin de diminuer l’intensité émotionelle ressentie à l’audition de ces pièces, ce type d’analyse ne peut qu’augmenter l’admiration du mélomane pour l’intuition de ces géants de la musique, qui, à l’instar des décorateurs arabes de l’Alhambra qui ont isolé les 17 groupes de pavage du plan plusieurs siècles avant la classification de Fedorov¹, ont utilisé les Modes à Transposition Limitée d’Olivier Messiaen et les groupes de frise sans les connaître. Ma conviction profonde est que la virtuosité digitale de Frédéric Chopin a pu l’amener à la découverte intuitive de structures que nous pouvons préférer décrire par les mathématiques.

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• Motivation par le désir
  

  Cette section reprend des idées déjà publiées dans le numéro 22 de la revue Analyse Musicale; le public étant fort différent, je passerai ici moins de temps à expliquer les bases mathématiques nécessaires, et plus sur le contenu musical. Le but ici est de présenter les outils utilisés sur un exemple qui met en valeur leur pertinence.

  

  Le Motif du désir qui ouvre et referme le chef-d’œuvre de Richard Wagner, Tristan, est la phrase musicale qui a fait couler le plus d’encre de toute l’histoire de la musique. Le fameux «accord de Tristan», fa, si, ré dièze, sol dièze, qui marque l’entrée de plusieurs instruments, a à lui seul engendré des volumes.
  Certes, cet accord est enharmonique² d’une septième de troisième espèce, bestiole répertoriée dans les traités d’harmonie comme fa lab dob mib; mais on a souvent pensé, et dit, que la présentation particulière de cet accord était emblématique du climat même de tout l’opéra et le résume.
  Sans aller aussi loin, nous allons nous attacher à décortiquer et l’accord, et la phrase musicale entière; nous verrons ainsi entre autres choses pourquoi celle-ci conditionne celui-là de manière absolument contingente.

   

• Modélisation et maths : structure hors-temps
  
  • Pour la musique occidentale, le premier pas consiste en général à travailler modulo 12. Ce pas est considéré comme trop drastique par certains³ mais nous n’en discuterons pas ici. La modélisation consiste à ramener les notes à celles d’une octave d’un clavier de piano. Une part de la justification est la propension naturelle de l’oreille à accepter comme similaires deux notes séparées par une octave, ie dont les fréquences sont dans un rapport 2.
    
  • Dans la mesure où l’on considère que les intervalles entre deux notes consécutives sont égaux (la gamme est tempérée), il est naturel de considérer la structure de groupe additif⁴ de Z/12Z. Si l’on veut, au lieu de considérer des notes réelles (des fréquences) et de les quotienter par une relation d’équivalence, on peut voir Z/12Z comme un groupe agissant par translation⁵ dans l’espace des hauteurs de notes. Le nombre 1 compte pour un demi-ton. Ainsi le nombre 4 correspond à une transposition d’une tierce majeure ascendante &emdash; ou d’une sixte mineure descendante (car 4 = -8, modulo 12 !).
    
  • Une étape suivante, clairement drastique mais provisoire, consiste à projeter la phrase musicale sur l’axe des hauteurs, c’est à dire à faire abstraction des hauteurs. Une certaine mouvance américaine⁶ va très loin dans cette direction, en compactant au maximum le résultat par renversements. Nous utiliserons le joli terme de Xénakis, «structure hors temps», pour parler du résultat. Ainsi le début de la sonate de Mozart dite facile, en do majeur, a pour structure hors-temps (SHT) la gamme de do majeur: do ré mi fa sol la si. Pour y voir plus clair, nous allons passer à la représentation géométrique naturelle de Z/12Z, sous forme d’horloge, qui explicite le caractère cyclique du groupe.

• La SHT du motif du désir est plus étrange: ré ré dièze mi fa sol dièze la la dièze si.

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• Il saute aux yeux que, contrairement aux modes dits «classiques» (le mode majeur, mais aussi le dorien, etc…) la SHT du Désir possède des symétries. De nos jours, cette SHT est bien connue: il s’agit du quatrième des Modes à Transpositions Limitées d’Olivier Messiaen⁷ , MTL 4. Que signifie cette étrange expression ? Que le mode majeur, par exemple, se présente sous douze formes différentes, transposées les unes des autres; alors que MTL4 n’en possède que six. En d’autres termes, l’action (par translation) de Z/12Z sur une forme de MTL4 n’est pas fidèle, son orbite a six éléments seulement et un sous-groupe de Z/12Z ({0,6}) stabilise ce⁸ MTL4.  

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• Les MTL possédaient un intérêt modal pour Messiaen, comme en fait foi l’exemple suivant du motif de Dieu dans les 20 regards sur l’Enfant Jésus: En effet, Messiaen aimait à superposer dans le même univers (nous dirions maintenant «dans la même SHT») des accords parfaits de plusieurs tonalités. Dans le mode sous-jacent ici (MTL2)⁹ il y en a 4 dont 2 sont énoncés explicitement (sol Majeur et si b Majeur)

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• Les MTL les plus connus sont la gamme par tons (MTL1), connue car typique chez Debussy, Ravel…, mais aussi employée par Bartok ou… Gerschwin comme le montre cet extrait de Rhapsody in Blue

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• Encore plus connue: la septième diminuée, dont le caractère «transposition limitée» est surabondamment employée par les musiciens «classiques» (dès le Baroque au moins) qui l’utilisent comme transition entre deux tonalités (si on passe de do mi b fa dièze la à sol majeur, on peut passer par symétrie aussi bien en si b, ré b, ou mi majeur !)
• Revenons à notre «mode du désir», MTL4. Il présente deux formes orthogonales d’intérêt:
  
  • Intérêt harmonique : il ne contient aucun accord parfait, ce qui correspond parfaitement à son irrésolution dans tout l’opéra; en effet, seule la toute dernière énonciation de ce motif est suivie d’un accord parfait (la note do dièze, rajoutée, permet d’aller conclure en Si majeur), au moment où les deux héros, morts, sont enfin libres de se rejoindre et de s’aimer. C’est bien vrai, à bien y réfléchir, que ce motif résume l’opéra…
    Plus géométrique: une symétrie (axiale) du motif échange l’accord de Tristan et le seul autre accord du motif, une septième de dominante¹⁰ .
    
  • Intérêt mélodique¹¹ : les deux tétracordes chromatiques sont échangés par l’autre symétrie axiale. Dans la dimension du temps, les deux s’écartent, comme Tristan & Isolde incapables de se trouver dans ce monde.

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• L’accord de Tristan est suffisant, mais aussi nécessaire !
  Ou pourquoi ce ne pouvait pas être un autre accord ! si l’on essaye de conserver les propriétés observées, compte tenu des six partitions de MTL4 en deux parties symétriques, il n’y a guère le choix et seule la forme utilisée effectivement par Wagner est viable¹². On peut même aller jusqu’à axiomatiser (a posteriori…) l’accord de Tristan en trois axiomes, et fabriquer une chimère, c’est à dire une variante obéissant au même «cahier des charges» !
  

• Synthèse
  
  • Reprenons nos esprits d’une main ferme; l’exemple ci-dessus montre bien que la reconnaissance de groupes (géométriques) permet une analyse descriptive, puis générative, du matériau étudié: il suffit de prendre deux notes consécutives (en écart d’un demi-ton) pour que l’action du groupe choisi engendre tout le MTL, tout en donnant et l’harmonie (les deux accords), et la mélodie (les deux tétracordes chromatiques). C’est la fameuse dialectique de Félix Klein (programme d’Erlangen) entre l’action du groupe (génératrice de figures) et sa structure (porteuse de propriétés génériques).¹³
    
  • Il y a dans la musique classique occidentale un nombre stupéfiant et, jusqu’à cet article¹⁴, peu connu, d’autres cas : on va particulièrement s’intéresser à l’itération de symétries glissées. Ce qui nous amène aux…

   

• Groupes de frises (en musique occidentale).
  
  • Commençons par un exemple ou deux :
    
  • On travaille sur une représentation bi-dimensionnelle: temps x hauteurs. En particulier on ne passe plus au quotient modulo 12.¹⁵ On trouve des symétries glissées dans La Puerta del Vino de Debussy (noter la symétrie aussi dans la dynamique, crescendo et decrescendo):

• Mais aussi dans le jeu des deux voix supérieures, dans cette phrase du sublime adagio du concerto en La M de Mozart: (la symétrie entre la sol dièze fa dièze et mi dièze fa dièze sol dièze a pour axe la hauteur de sol bécarre, mais aussi (modulo 12) celle du do dièze… qui est la note longue suivante…).

En plus sophistiqué, revenons à Debussy dans un autre Prélude du deuxième livre, La Terrasse des audiences au clair de lune.

• La «ritournelle» de la première ligne qui hante cette pièce est une authentique frise, d’axe oblique¹⁶.

• L’ exemple suivant commence par reprendre le schéma vu sur La Puerta del Vino, mais en fait il suggère plutôt l’action d’une similitude indirecte de rapport 1/2… Noter qu’on y trouve l’accord de Tristan, et (symétrie oblige) son retourné, la septième de dominante !¹⁷

• Le schéma de la ritournelle permet de construire divers exemples de chimères, ou variantes. J’avais pondu un petit programme Pascal (oui, cema ne nous rajeunit pas…) qui en fabriquait a gogo. Les compositeurs de musique dite populaire gagneraient à utiliser ce genre de programmes pour introduire un peu plus de variété dans les variétés!

 

• Panorama général.
  
  • Comme à l’Alhambra les 17 groupes de pavage du plan¹⁸ , tous les groupes de frise (il y en a sept) se retrouvent dans la littérature musicale occidentale. Bien entendu, on ne les trouve que sous forme tronquée ! (il y a peu, ou pas, de pièces de longueur infinie¹⁹ …) À noter le plus trivial de ces groupes, isomorphe à Z et engendré par une translation (oblique ou pas) : son action est une simple répétition. En relèvent donc les gammes, arpèges, etc… mais aussi certaines «marches»²⁰ . L’intérêt d’une notion aussi simple n’est pourtant pas négligeable, pour décrire très économiquement certains passages.
    
  • Ces descriptions sont plus précises (durées, hauteurs exactes), et donc plus rares, que les analyses «classiques» en termes de «mouvements contraires». Comme on l’a vu avec le motif de Tristan, l’action des groupes de frise génère a priori des structures hors-temps symétriques et atonales. D’où leur intérêt exotique en musique «classique».
    
    • Précisons un point un peu technique : une marche n’est pas toujours une frise (cela se discerne sur la structure HT). Cf. l’étude révolutionnaire en do mineur, et le troisième Scherzo de Frédéric Chopin, ce qui donnera une superbe transition avec notre dernière partie…
    
• Le cas Chopin.
  
  • Frédéric Chopin était à la fois un virtuose, un classique, et un romantique. C’est sensible dans la fameuse phrase suivante, qui est à la fois difficile à jouer, de caractère désespéré et d’harmonie très simple:

• On voit dans cet extrait de la fameuse étude en la mineur²¹ le centre de mon intérêt: comment s’articulent ces trois dimensions hétéroclites et a priori hétérogènes de Chopin dans ceux de ses «traits» qui présentent des groupes de frise.
  
• Exemples
  
  • Ils sont étonnamment nombreux, même si surtout avec le premier groupe de frise (translations seules). C’est déjà moins surprenant chez Liszt (mort en 1886, quarante ans après Chopin !), sans parler de compositeurs encore plus récents. Si un directeur de thèse se propose de m’encadrer sur ce sujet²² , je veux bien en faire une étude exhaustive, mais à défaut nous nous contenterons de deux ou trois œuvres parmi les plus célèbres…
    
  • Première ballade²³ : deux en deux lignes !

La ligne supérieure décrit une septième diminuée, l’inférieure un autre MTL (2).

Le suivant est plus court, mais sans état d’âmes: il présente un groupe de frises moins trivial (avec des symétries centrales):

• Nous retrouvons la même frise dans le tout dernier trait du Presto de la sonate en si, et ce mouvement final recèle plusieurs exemples de frises.

• Concerto en mi (premier mouvement):
  

Je ne reproduis pas le tout premier trait du piano qui est (comme ses avatars) une frise dans une SHT à sept éléments (un mode, kôa). Dans ce référentiel, il présente une symétrie de frise, mais pour l’instant nous nous contentons des vraies frises (dans Z/12Z). Le suivant est une pure frise dans le référentiel chromatique (les douze sons):

Il dégouline à la vitesse d’une tierce mineure, ce qui engendre automatiquement un mode réunion de septièmes diminuées, à savoir MTL2. Voici le graphique de frise:

La symétrie en est assez pauvre²⁴ . Le suivant est frappant pour l’interprète:

Ce petit trait en tierces très «ragtime» a un aspect virtuose, avec tout en touches blanches et le côté répétitif du geste qui facilite en fait l’exécution²⁵ . Exceptionnellement donnons sa structure dans Z/7Z, même si 7 est premier il y a là un élément qui relève de l’action d’un groupe:

Au suivant:

Ce trait, le plus atonal de tous, prépare la réexposition (par l’orchestre seul). C’est une gamme chromatique avec du bruit autour.

Voilà (main droite) une descente de septièmes diminuées curieusement tronquées, ou tordues: la quatrième note est absente et remplacée par le demi-ton inférieur &emdash; car on descend.

• Synthèse :
  
  • Nous avons relevé sur un petit choix d’exemples l’importance du clavier du piano et du jeu des doigts sur les choix du compositeur. Par exemple on note plusieurs fois dans son œuvre l’emploi de la SHT des touches noires (une gamme pentatonale mais surtout, pour un pianiste,une structure qui émerge physiquement du clavier) - le plus bel exemple est l’étude dite «la Négresse» en Sol b majeur - et de façon paradoxalement plus cachée la SHT des touches blanches, comme dans le trait du concerto en mi mentionné plus haut. Cela apparaît de façon plus subtile quand on se met sous les doigts certains autres traits présentant de fortes symétries. Il me semble que l’on peut aller jusqu’à défendre la thèse d’un emploi conscient, ou à tout le moins d’une sensibilité de Chopin aux structures hors-temps.
    
  • Je m’intéresse surtout aux traits atonaux (les plus étranges pour l’époque). Dans les cas de groupes de frises étudiés, dont l’action génère forcément un MTL, il est automatique d’obtenir au moins un élément atonal dans le trait²⁶. Comment Chopin procède-il ?
    
  • Soit par l’ évocation d’une gamme chromatique, élement atonal mais acceptable à son époque (car toutes les notes jouables y sont);
    
  • Soit, et très souvent, en assènant violemment (par la main gauche) un élément fixe (accord parfait ou septième de dominante, donc tonal) sans grand souci de coïncidence avec le trait (première ballade, études en la mineur…). Il oblitère ainsi par le volume sonore (et aussi la durée plus ample du son) ce que ses trouvailles virtuoses ou mathématiques pourraient avoir de trop choquant !
    
  • En conclusion : Chopin, virtuose, écrit des traits violemment répétitifs qui font donc facilement apparaître des groupes de frises. Chopin musicien classique doit rectifier leur côté atonal en leur superposant des accords (lourdement !) ou des figures «politically correct», dont la dissonnance avec le trait est appréciée par Chopin, musicien romantique.

   

• Perspectives :
  

  Dans une dimension poïétique, c’est à dire en abandonnant l’exactitude, on est conduit à étudier des brisures de symétries, d’autant plus intéressantes que la symétrie sous-jacente est forte. Cf. le trait de la première ballade auquel une infime modification apporte de grosses symétries, un trait (12 dans l’édition Cortot) de la sonate en si, etc. Il reste à définir les outils mathématiques qui soient pertinents quant à la dimension musicale (et plus généralement esthétique). Peut-être que les sciences cognitives auront un jour leur mot à dire là-dessus ?
  

Bibliographie:
[AMIOT] Revue d’analyse musicale N° 22 02/91 Pour en finir avec le Désir.
[RAHN] Donald Rahn Basic Atonal Theory.
[KREI] Revue Kreisleriana publiée par l’IREM de Caen.
[RIO] Polycopié du cours d’André Riotte, Paris VIII.
[ROSEN], Le style classique, NRF.

¹ Schönflies y esr arrivé en même temps ou presque; Camille Jordan avait déjà trouvé 16 des 17 groupes.

² Les mêmes notes mais énumérées, de la plus grave à la plus haute, dans un ordre différent.

³ Comme Yves Hell’gouarch, connu des lecteurs de cette revue. En tant que violoncelliste &emdash; de talent &emdash; il refuse d’identifier le do bécarre et le si dièze.

⁴ Certains compositeurs (Berg) ont même utilisé la multiplicaton modulo 12, dans des contextes au départ plus abstraits (musque sérielle).

⁵ Ce qu’un musicien appelle une «transposition».

⁶ Celle de Babitt, et surtout Allan Forte. cf [RAHN]

⁷ Grand compositeur français, imprégné par le christianisme et les chants d’oiseaux. Né en 1908, il aura marqué toute une génération de compositeurs (Boulez, Stockhausen, etc…) par ses cours au Conservatoire, et son traité Technique de mon langage musical.

⁸ Il stabilise toutes les 6 formes (en général les stabilisateurs sont conjugués le long d’une orbite, mais ici le groupe est abélien…)

⁹ Le mode «12121212» dans le monde du Jazz.

¹⁰ Septième, tout court, pour un jazzman.

¹¹ Je crois que le Sâr Péladan mentionne cette propriété dans un roman: Les Amants de Venise ?

¹² Ceci est discuté plus en détail dans [AMIOT].

¹³ Coïncidence stupéfiante, le groupe stabilisateur de MTL4 n’est autre que le groupe de Klein !

¹⁴ cf tout de même [RIO], précurseur, et [KREI].

¹⁵ Même si l’étude de la SHT modulo 12 permet de déceler des symétries, cf. infra.

¹⁶ Le mérite de la découverte revient à l’informaticien Marcel Mesnage.

¹⁷ Debussy , qui avait pris ses distances avec l’idôlatrie Wagnérienne, ne dédaignait pas de faire des allusions à Tristan (la plus drôle est le motif du Désir en jazz, dans Golliwogs Cake Walk).

¹⁸ Je n’ai pas vu à l’Alhambra de motifs illustrant exactement chacun des 17 groupes; mais deux de ces groupes (l’un avec des pavages en carrés, l’autre en triangles équilatéraux) renferment tous les autres.

¹⁹ Une mazurka de Chopin, un tango d’Eric Satie, sont à répéter senza fine…

²⁰ Répétition avec transposition (translation oblique dans l’espace temps x hauteurs).

²¹ Opus 25, numéro 11.

²² Proposition sérieuse: mon eMail est chucky@wanadoo.fr

²³ Exemple découvert par André Riotte, il y a pas mal d’années… (bon anniversaire !)

²⁴ Deux des notes en groupes de trois ne sont pas centrées sur l’axe.

²⁵ Ici il faut se placer dans une SHT réduite aux seules touches blanches, ie au mode de do majeur.

²⁶ Le seul MTL inclus dans une tonalité est la septième diminuée, dont l’intérêt est peut-être plus baroque que romantique ? mais Chopin n’a-t-il pas réhabilité JS Bach ?… disons simplement que cet accord n’est pas d’un intérêt majeur pour Chopin sans trop chercher à préciser en quoi son langage s’éloigne de celui du siècle précédent. Pour ceux qu’intéresse l’âge classique, lire [ROSEN].